线性代数笔记
矩阵
矩阵的秩决定了解有多少个 Ax=b r(rank), m(row),n(cow) free variable =max(0, n-m) r=m=n { 1 resolution } r=m<n { 0 or 1 resolution } r=n<m { ∞ resolution } definition: Independence: vector combination not being zero Spanning: vector all the combinations Basis: one the conbinatons independence and spanning dimension of the space: the number of the vectors in any basis //ps: dimension of null = n - r the number of the free variables
零空间的基向量就是使矩阵某一行变为0的向量 四个基本向量 Am×n，列空间C(A)，零空间N(A)，行空间C(AT)，A转置的零空间（通常叫左零空间），线性代数的核心内容，研究这四个基本子空间及其关系
零空间N(A) n维向量，是Ax=0的解，所以N(A)在Rn里。
列空间C(A) 列向量是m维的，所以C(A)在Rm里。
行空间C(AT) A的行的所有线性组合，即A转置的列的线性组合（因为我们不习惯处理行向量），C(AT)在Rn里。
A转置的零空间N(AT)—A的左零空间 N(AT)在Rm里。
行列式10性质
(1)
\(a \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} a*1 & a*2 & a*3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right]\)
(2)
交换行，行列式的值符号会相反
(3)
\(\left[ \begin{matrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} a' & b' \\ c & d \end{matrix} \right]\)
(4)
如果两行相等 或者成比例 那么det为0
(5)
如果k行减去i倍的l行 不会改变
\(\left[
\begin{matrix}
a & b \\
c-la & d-lb
\end{matrix}
\right] = \left[
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right] + \left[
\begin{matrix}
a & b \\
-la & -lc
\end{matrix}
\right] = \left[
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right] + 0\)
(6)
若有一行全为0 那么det为0
(7)
\(det \left[ \begin{matrix} d1 & * & *\\ 0 & d2 & *\\ 0 & 0 & d3\\ \end{matrix} \right] = d1*d2*d3\) ####(8) 如果det A = 0那么 A 是奇异矩阵 如果det A != 0 那么 A是可逆的
(9)
det(AB) = det(A)*det(B) det2A = 2^n detA
(10)
det AT = det A |UTLT|= |LU| | UT||LT|=|L||U|
行列式公式和代数余子式
Aij=(-1)ijMij Aij是矩阵D中aij的代数余子式 \(det(D)= \sum_{i=1,0<k<n}^n a_{ki}A_{ki}\) 证： \(\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12}&... & a_{1n}\\ ... &...& ...&...\\ a_{j1}&a_{j2}& ...&a_{jn}\\ ... &...& ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12}&... & a_{1n}\\ ... &...& ...&...\\ a_{j1}+0&a_{j2}+0& ...&a_{jn}+0\\ ... &...& ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix} \right]\) \(=\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12}&... & a_{1n}\\ ... &...& ...&...\\ a_{j1}+0&0& ...&0\\ ... &...& ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12}&... & a_{1n}\\ ... &...& ...&...\\ 0+0&a_{j2}+0& ...&0\\ ... &...& ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix} \right]+...+\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12}&... & a_{1n}\\ ... &...& ...&...\\ 0&0& ...&a_{jn}+0\\ ... &...& ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix} \right]\) \(=> D=a_{11}A_{11}+...a_{nn}A_{nn}\) \(=>det(D)= \sum_{i=1,0<k<n}^n a_{ki}A_{ki}\) 由此可以引伸至 求非奇异矩阵\(D=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\ \end{matrix}\right]\) 的逆矩阵 Aij是D矩阵中aij的代数余子式C如下 \(C=\left[\begin{matrix} A_{11}&A_{21}&...&A_{n1}\\ ...&...&...&...\\ A_{12}&A_{22}&...&A_{1n}\\ ...&...&...&...\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn}\\ \end{matrix}\right]\) \(D^{-1}=det(D)^{-1}C^{T}\)